内田 5章 位相空間
takker.iconが知らないことだけpick upする
定義略
厳密にはこっちのほうがいいらしい
$ Xの元を位相空間$ (X,\mathcal O)の点と呼ぶ 密着空間：密着位相$ \{\varnothing,X\}を与えられた位相空間$ (X,\{\varnothing,X\})のこと 2025-02-06 16:06:47 $ \mathscr O_X：$ X上の開集合系全体の集合としたとき、 $ 2^X=\max\mathscr O_X
$ \{\varnothing,X\}=\min\mathscr O_X
が成立するtakker.icon
証明
$ \vdash\forall X:2^X\in\mathscr O_Xと$ \vdash\forall X\forall\mathcal O\in\mathscr O_X:\mathcal O\subseteq 2^Xから$ 2^X=\max\mathscr O_X
ほぼ自明
$ \{\varnothing,X\}=\min\mathscr O_Xも自明だな
$ \forall X\forall\mathcal O\in\mathscr O_X:\varnothing\in\mathcal O\land X\in\mathcal Oが開集合系の公理(O1)から示せる $ X\neq\varnothingが本当に必要なのかは依然わからないtakker.icon
問15.1 $ X=\{1,2,3\}の位相を列挙する
$ \{\varnothing,X\}
$ \{\varnothing,\{1\},X\}
$ \{\varnothing,\{2\},X\}
$ \{\varnothing,\{3\},X\}
$ \{\varnothing,\{1\},\{2\},X\}
$ \{\varnothing,\{2\},\{3\},X\}
$ \{\varnothing,\{3\},\{1\},X\}
$ \{\varnothing,\{1\},\{2\},\{3\},X\}
$ \{\varnothing,\{1,2\},X\}
$ \{\varnothing,\{2,3\},X\}
$ \{\varnothing,\{3,1\},X\}
$ \{\varnothing,\{1,2\},\{2\},\{2,3\}X\}
$ \{\varnothing,\{2,3\},\{3\},\{3,1\}X\}
$ \{\varnothing,\{3,1\},\{1\},\{1,2\}X\}
$ 2^X
問15.2
問15.4
任意の距離空間$ (X,d)にて、$ (X,d)の距離位相を$ \mathcal O_d、距離空間における開核,閉包を$ \bullet^{\circ_d},\overline{\bullet^d},位相空間$ (X,\mathcal O_d)における開核, 閉包を$ \bullet^\circ,\overline{\bullet}とする 次を示せ
$ \forall A\in2^X:A^{\circ_d}=A^\circ
$ \forall A\in2^X:\overline{A^d}=\overline A
§16 近傍系と連続写像
$ \overline A=A\cup A^d
例16.2 任意の位相空間$ (X,\mathcal O)とその部分位相空間$ (A,\mathcal O_A)にて、包含写像$ i:A\hookrightarrow Xは連続写像である 任意の位相空間$ (X,\mathcal O_X),(Y,\mathcal O_Y)と全単射$ f:X\to Yにて、$ f,f^{-1}がともに$ (X,\mathcal O_X),(Y,\mathcal O_Y)上の連続写像ならば、$ fを同相写像と呼ぶ 任意の位相空間$ (X,\mathcal O_X),(Y,\mathcal O_Y)に同相写像が存在するとき、$ (X,\mathcal O_X),(Y,\mathcal O_Y)は位相同型もしくは同相であるという $ \forall O\in\mathcal O\forall x\in O\exist U\in\mathcal B:x\in U\subseteq Oを満たす$ \mathcal B\in2^{\mathcal O}を、位相$ \mathcal Oの開基と呼ぶ $ x\in A^\circ\iff\exist O\in\mathcal O:x\in O\subseteq Aと似てる？takker.icon
$ (\forall x\in O\exist U\in\mathcal B:x\in U\subseteq O)\iff\left(\exist\mathcal B_0\subseteq\mathcal B:O=\bigcup\mathcal B_0\right)が成り立つ
例17.1
例17.2
定理17.1
$ \forall X\neq\varnothing\forall\mathcal O,\mathcal B\in2^{2^X}:
$ \begin{dcases}\mathcal O=\{O\in2^X\mid\forall x\in O\exist U\in\mathcal B:x\in U\subseteq O\}\\X=\bigcup\mathcal B\\\forall B_1,B_2\in\mathcal B\forall x\in B_1\cap B_2\exist B_3\in\mathcal B:x\in B\subseteq B_1\cap B_2\end{dcases}\iff\begin{dcases}\mathcal O\in\mathscr O_X\\\forall O\in\mathcal O\forall x\in O\exist U\in\mathcal B:x\in U\subseteq O\end{dcases}
位相の生成
定理17.2
$ \forall X\neq\varnothing\forall\mathcal B\in2^{2^X}にて、$ \mathcal Bを準開基とする位相空間$ (X,\mathcal O)がただ1つ存在する この$ \mathcal Oを、$ \mathcal Bから生成される位相という 論理式に表すとこうなる
$ \forall X\forall\mathcal O,\mathcal S\in2^{2^X}:
$ \begin{dcases}\mathcal S\subseteq\mathcal O\in\mathscr O_X\\\forall O\in\mathcal O\forall x\in O\exist n\in\N\exist N:\N_{<n}⤖\mathcal S:x\in\bigcap_{i\le n}N_i\subseteq O\end{dcases}\iff\mathcal O=\left\{O\in2^X\middle|\forall x\in O\exist n\in\N\exist N:\N_{<n}⤖\mathcal S:x\in\bigcap_{i\le n}N_i\subseteq O\right\}
例17.4
距離空間$ (X,d)と距離位相$ \mathcal O_dにて、 $ \mathcal N^*(x):=\left\{N\in 2^X\middle|\exist n\in\N:N=B_{\frac1n}(x)\right\}
$ B_\bullet(\bullet)は開球体のことtakker.icon は$ (X,\mathcal O_d)の基本近傍系である https://gyazo.com/91c0f6a060da9b25b1239264ae6714c7
任意の位相空間$ (X,\mathcal O)にて、$ \forall x\in X\exist\mathcal N^*(x):|\mathcal N^*(x)|\le\aleph_0を満たすとき、$ (X,\mathcal O)は第1可算公理を満たすという 任意の位相空間$ (X,\mathcal O)にて、$ |\mathcal B|\le\aleph_0となる開基$ \mathcal Bを持つとき、$ (X,\mathcal O)は第2可算公理を満たすという $ Aは$ (X,\mathcal O)の稠密な部分集合である$ :\iff\overline A=X $ (X,\mathcal O)は可分である$ :\iff\exist A\in2^X:\overline A=X\land|A|\le\aleph_0 任意の位相空間$ (X_1,\mathcal O_1),(X_2,\mathcal O_2)と$ \forall f:X_1\to X_2\forall x\in X_1にて、以下を満たすとき、$ fは点$ xにて点列連続であるという $ \forall a:\N\to X_1:\lim_{n\to\infty}a_n=x\implies\lim_{n\to\infty}f(a_n)=f(x)
$ f(\lim_{n\to\infty}a_n)=\lim_{n\to\infty}f(a_n)という、$ fと$ \lim_{n\to\infty}の交換則が成り立っているとも解釈できるtakker.icon