内田 5章 位相空間
takker.iconが知らないことだけpick upする
定義略
厳密にはこっちのほうがいいらしい
$ Xの元を位相空間$ (X,\mathcal O)の点と呼ぶ どの要素に対しても、$ x\in\{x\}\in\mathcal Oが成立するため、すべての要素を別な開集合で分離できる
つまりどの要素も離れている
密着空間：密着位相$ \{\varnothing,X\}を与えられた位相空間$ (X,\{\varnothing,X\})のこと どの要素も$ \in Xしてしまうので、すべての要素の距離が同じ、つまりくっついているということ
2025-02-06 16:06:47 $ \mathscr O_X：$ X上の開集合系全体の集合としたとき、 $ 2^X=\max\mathscr O_X
$ \{\varnothing,X\}=\min\mathscr O_X
が成立するtakker.icon
証明
$ \vdash\forall X:2^X\in\mathscr O_Xと$ \vdash\forall X\forall\mathcal O\in\mathscr O_X:\mathcal O\subseteq 2^Xから$ 2^X=\max\mathscr O_X
ほぼ自明
$ \{\varnothing,X\}=\min\mathscr O_Xも自明だな
$ \forall X\forall\mathcal O\in\mathscr O_X:\varnothing\in\mathcal O\land X\in\mathcal Oが開集合系の公理(O1)から示せる $ X\neq\varnothingが本当に必要なのかは依然わからないtakker.icon
問15.1 $ X=\{1,2,3\}の位相を列挙する
$ \{\varnothing,X\}
$ \{\varnothing,\{1\},X\}
$ \{\varnothing,\{2\},X\}
$ \{\varnothing,\{3\},X\}
$ \{\varnothing,\{1\},\{2\},X\}
$ \{\varnothing,\{2\},\{3\},X\}
$ \{\varnothing,\{3\},\{1\},X\}
$ \{\varnothing,\{1\},\{2\},\{3\},X\}
$ \{\varnothing,\{1,2\},X\}
$ \{\varnothing,\{2,3\},X\}
$ \{\varnothing,\{3,1\},X\}
$ \{\varnothing,\{1,2\},\{2\},\{2,3\}X\}
$ \{\varnothing,\{2,3\},\{3\},\{3,1\}X\}
$ \{\varnothing,\{3,1\},\{1\},\{1,2\}X\}
$ 2^X
問15.2
問15.4
任意の距離空間$ (X,d)にて、$ (X,d)の距離位相を$ \mathcal O_d、距離空間における開核,閉包を$ \bullet^{\circ_d},\overline{\bullet^d},位相空間$ (X,\mathcal O_d)における開核, 閉包を$ \bullet^\circ,\overline{\bullet}とする 次を示せ
$ \forall A\in2^X:A^{\circ_d}=A^\circ
$ \forall A\in2^X:\overline{A^d}=\overline A
§16 近傍系と連続写像
$ \overline A=A\cup A^d
例16.2 任意の位相空間$ (X,\mathcal O)とその部分位相空間$ (A,\mathcal O_A)にて、包含写像$ i:A\hookrightarrow Xは連続写像である 例17.1
例17.2
位相の大きさ
$ \forall\mathcal O_1,\mathcal O_2\in\mathscr O_Xにて
$ \mathcal O_1は$ \mathcal O_2より大きい$ :\iff\mathcal O_1\subseteq\mathcal O_2
$ \mathcal O_1は$ \mathcal O_2より小さい$ :\iff\mathcal O_1\supseteq\mathcal O_2
これは冪集合の半順序集合$ (\mathscr O_X,\subseteq)上の順序関係と一致する 位相の生成
定理17.2
$ \forall X\neq\varnothing\forall\mathcal B\in2^{2^X}にて、$ \mathcal Bを準開基とする位相空間$ (X,\mathcal O)がただ1つ存在する この$ \mathcal Oを、$ \mathcal Bから生成される位相という 論理式に表すとこうなる
$ \forall X\forall\mathcal O,\mathcal S\in2^{2^X}:
$ \begin{dcases}\mathcal S\subseteq\mathcal O\in\mathscr O_X\\\forall O\in\mathcal O\forall x\in O\exist n\in\N\exist N:\N_{<n}⤖\mathcal S:x\in\bigcap_{i\le n}N_i\subseteq O\end{dcases}\iff\mathcal O=\left\{O\in2^X\middle|\forall x\in O\exist n\in\N\exist N:\N_{<n}⤖\mathcal S:x\in\bigcap_{i\le n}N_i\subseteq O\right\}
例17.4
距離空間$ (X,d)と距離位相$ \mathcal O_dにて、 $ \mathcal N^*(x):=\left\{N\in 2^X\middle|\exist n\in\N:N=B_{\frac1n}(x)\right\}
$ B_\bullet(\bullet)は開球体のことtakker.icon は$ (X,\mathcal O_d)の基本近傍系である 証明
$ \forall B:
$ B\in\mathcal N^*(x)
$ \iff\exist n\in\N:B=B_{\frac1n}(x)
$ \iff\exist\varepsilon>0\exist n\in\N:
$ \begin{dcases}B=B_\varepsilon(x)\\\varepsilon=\frac1n\end{dcases}
$ \implies\exist\varepsilon>0:B=B_\varepsilon(x)
$ \implies\exist\varepsilon>0:B_\varepsilon(x)\subseteq B
$ \iff B\in\mathcal N(x)
$ \because距離位相にて$ \mathcal N(x)=\{N\in2^X\mid\exist\varepsilon>0:B_\varepsilon(x)\subseteq N\} $ \implies\mathcal N^*(x)\subseteq\mathcal N(x)
$ \forall N:
$ N\in\mathcal N(x)
$ \iff\exist\varepsilon>0:B_\varepsilon(x)\subseteq N
$ \iff\exist n\in\N\exist\varepsilon>\frac1n:B_\varepsilon(x)\subseteq N
$ \iff\exist n\in\N\exist\varepsilon>0:B_{\frac1n}(x)\subseteq B_\varepsilon(x)\subseteq N
$ \implies\exist n\in\N:B_{\frac1n}(x)\subseteq N
$ \iff\exist B\in\mathcal N^*(x):B\subseteq N
$ \implies\forall N\in\mathcal N(x)\exist B\in\mathcal N^*(x):B\subseteq N
$ \therefore\mathcal N^*(x)は$ (X,\mathcal O_d)の基本近傍系
$ \mathcal N^*(x)=(n\to B_{\frac1n})^\to(\N)\sim_\#\Nだから、$ \mathcal N^*(x)は第1可算公理を満たす 任意の位相空間$ (X,\mathcal O)にて、$ \forall x\in X\exist\mathcal N^*(x):\mathcal N^*(x)\lesssim_\#\Nを満たすとき、$ (X,\mathcal O)は第1可算公理を満たすという 任意の位相空間$ (X,\mathcal O)にて、$ \mathcal B\lesssim_\#\Nとなる開基$ \mathcal Bを持つとき、$ (X,\mathcal O)は第2可算公理を満たすという 定理18.1
任意の位相空間$ (X_1,\mathcal O_1),(X_2,\mathcal O_2)と$ \forall f:X_1\to X_2\forall x\in X_1は以下を満たす 1. $ (f(a)\to f(x)\quad(a\to x))\implies fは$ xで点列連続 位相空間による連続写像の定義を使うと$ \mathcal N_2(f(x))\subseteq{f^\gets}^\gets(\mathcal N_1(x))\implies\forall a:\N\to X_1:(\lim_{n\to\infty}a_n=x\implies\lim_{n\to\infty}f(a_n)=f(\lim_{n\to\infty}a_n))と書ける 2. $ (X_1,\mathcal O_1)が第1可算公理を満たす$ \land fは$ xで点列連続$ \implies (f(a)\to f(x)\quad(a\to x)) 例18.1
問18.2
問18.3
$ \forall \alpha,\beta\in X\exist\gamma\in X:\max\{\alpha,\beta\}\le\gammaである半順序集合$ (X,\le)を有向集合という 例
位相空間$ (X,\mathcal O)と$ \forall a\in Xにて、$ (\mathcal N(a),\supseteq)は有向集合となる $ \implies\forall\alpha,\beta\in\mathcal N(a):\alpha\cap\beta\in\mathcal N(a)
$ \iff\forall\alpha,\beta\in\mathcal N(a):\max\{\alpha,\beta\}\supseteq\alpha\cap\beta\in\mathcal N(a)
$ \implies\forall\alpha,\beta\in\mathcal N(a)\exist\gamma\in\mathcal N(a):\max\{\alpha,\beta\}\supseteq\gamma
$ \implies(\mathcal N(a),\supseteq)は有向集合 任意の位相空間$ (X,\mathcal O)と有向集合$ (\Gamma,\le)にて、点列$ x_\bullet:\Gamma\to Xを$ (X,\mathcal O)の有向点列と呼ぶ $ \forall a\in X:有向点列$ x_\bullet:\Gamma\to Xが$ aに収束する$ :\iff\forall N\in\mathcal N(a)\exist\delta\in\Gamma\forall\alpha\in\Gamma_{\ge\delta}:x_\alpha\in N 定理18.2
任意の位相空間$ (X_1,\mathcal O_1),(X_2,\mathcal O_2)と$ \forall f:X_1\to X_2\forall x\in X_1は以下を満たす $ (f(a)\to f(x)\quad(a\to x))\iff任意の有向集合$ (\Gamma,\le)にて$ \forall x_\bullet:\Gamma\to X:(x_\bulletが$ aに収束する$ \implies f(x_\bullet)が$ f(x)に収束する$ )
問18.4
任意の位相空間$ (X,\mathcal O)と$ \forall A\in2^X\forall x\in Xにて以下が成り立つ $ x\in\overline A\iff\exist\Gamma\exist x_\bullet:\Gamma\to X:((\Gamma,\le)が有向集合$ \land x_\bulletが$ xに収束する$ )